Estadisticas y Probabilidades

viernes, 7 de junio de 2019

MAPA CONCEPTUAL DE FUNCIONES

https://mm.tt/1278672911?t=XG1OLktLR5

http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/calculo_infinitesimal/web/estudio_funciones/funcion.html
https://www.youtube.com/watch?v=PPuWf2cDEKc

jueves, 28 de marzo de 2019

Introducción
La teoría de Probabilidades comienza a partir de una disputa entre jugadores en 1654. Los dos matemáticos que participaron de tales discusiones fueron Blaise Pascal y Pierre de Fermat, y su intercambio de correspondencia sentó las bases de la teoría de Probabilidades. Un matemático holandés, Christian Huygens tomó contacto con esa correspondencia y escribió el primer libro sobre Probabilidades en 1657, el cual trataba fundamentalmente sobre problemas relacionados con los juegos de azar. Durante el siglo XVIII la teoría se desarrolló y se enriqueció con los aportes de Jacob Bernoulli y Abraham de Moivre. En 1812 Pierre de Laplace introdujo una serie de nuevas ideas y técnicas matemáticas en su libro Theorie Analytique des Probabilités y fundamentalmente sacó a la teoría del marco exclusivo de los juegos de azar y aplicó las ideas a muchos problemas científicos y prácticos. Algunas de las importantes aplicaciones desarrolladas en el siglo XIX fueron: teoría de errores, matemática actuarial y mecánica estadística. Una de las dificultades para el desarrollo de la teoría matemática de las probabilidades fue llegar a una definición de probabilidad matemáticamente rigurosa, pero al mismo tiempo amplia para permitir su aplicación a un amplio rango de fenómenos. En el siglo XX se llegó a una definición axiomática de las Probabilidades (Kolmogorov, 1933). ¿Porqué estudiar Probabilidades y Estadística en Ciencias de la Computación?: Posibles preguntas que queremos responder: • ¿Cuál es el máximo número de terminales que pueden estar conectadas en un servidor antes de que el tiempo medio de espera se haga inaceptable? • En una base de datos, ¿Cómo deberían ser guardados los datos para minimizar el tiempo medio de acceso? Los sistemas de computación no son determinísticos. Pensemos, por ejemplo, en el delay en el envío de paquetes, comunicaciones en una red, equilibrio de “carga” en servidores, requerimientos de memoria, etc. ¿Para qué sirven las Probabilidades? Si bien estamos frente a procesos aleatorios, no son necesariamente “caóticos”, en el sentido que podemos descubrir un patrón de comportamiento que pueda ser modelado. Veamos un ejemplo de uso frecuente.

Compresión de archivos: El código ASCII contiene 256 caracteres, cada uno de los cuáles se representa con un número consistente en 8 dígitos binarios, por ejemplo, á se representa por 160 ≡ 10100000. Para simplificar el problema, supongamos que contamos con sólo 4 caracteres: A, B, C y D. Para representarlos necesitamos 2 bits. Por ejemplo, podríamos representarlos así:

A → 00
B → 01
C → 10
D → 11

Si un texto constara de n caracteres necesitaríamos 2n bits para guardarlo. Esta cantidad de bits es determinística. Supongamos que sabemos que ciertas letras aparecen con más frecuencia que otras, por ejemplo, supongamos que sabemos que las frecuencias con que aparecen las 4 letras en un texto son:

A 0.70 (70%)
B 0.12 (12%)
C 0.10 (10%)
D 0.08 ( 8%)

Medida De Tendencia Central Y De Dispersión

Las medidas de tendencia central son medidas estadísticas que pretenden resumir en un solo valor a un conjunto de valores. Representan un centro en torno al cual se encuentra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central más utilizadas son: media, mediana y moda. Las medidas de dispersión en cambio miden el grado de dispersión de los valores de la variable. Dicho en otros términos las medidas de dispersión pretenden evaluar en qué medida los datos difieren entre sí. De esta forma, ambos tipos de medidas usadas en conjunto permiten describir un conjunto de datos entregando información acerca de su posición y su dispersión.

Los procedimientos para obtener las medidas estadísticas difieren levemente dependiendo de la forma en que se encuentren los datos. Si los datos se encuentran ordenados en una tabla estadística diremos que se encuentran “agrupados” y si los datos no están en una tabla hablaremos de datos “no agrupados”.

Según este criterio, haremos primero el estudio de las medidas estadísticas para datos no agrupados y luego para datos agrupados.

Medidas estadísticas en datos no agrupado

Medidas de tendencia central

Promedio o media
La medida de tendencia central más conocida y utilizada es la media aritmética o promedio aritmético. Se representa por la letra griega µ cuando se trata del promedio del universo o población y por Ȳ (léase Y barra) cuando se trata del promedio de la muestra. Es importante destacar que µ es una cantidad fija mientras que el promedio de la muestra es variable puesto que diferentes muestras extraídas de la misma población tienden a tener diferentes medias. La media se expresa en la misma unidad que los datos originales: centímetros, horas, gramos, etc.

Si una muestra tiene cuatro observaciones: 3, 5, 2 y 2, por definición el estadígrafo será:

Estos cálculos se pueden simbolizar:

Donde Y1 es el valor de la variable en la primera observación, Y2 es el valor de la segunda observación y así sucesivamente. En general, con “n” observaciones, Yi representa el valor de la i-ésima observación. En este caso el promedio está dado por

De aquí se desprende la fórmula definitiva del promedio:

Desviaciones: Se define como la desviación de un dato a la diferencia entre el valor del dato y la media:

Ejemplo de desviaciones:

Una propiedad interesante de la media aritmética es que la suma de las desviaciones es cero.

Mediana
Otra medida de tendencia central es la mediana. La mediana es el valor de la variable que ocupa la posición central, cuando los datos se disponen en orden de magnitud. Es decir, el 50% de las observaciones tiene valores iguales o inferiores a la mediana y el otro 50% tiene valores iguales o superiores a la mediana.

Si el número de observaciones es par, la mediana corresponde al promedio de los dos valores centrales. Por ejemplo, en la muestra 3, 9, 11, 15, la mediana es (9+11)/2=10.

Moda
La moda de una distribución se define como el valor de la variable que más se repite. En un polígono de frecuencia la moda corresponde al valor de la variable que está bajo el punto más alto del gráfico. Una muestra puede tener más de una moda.

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión entregan información sobre la variación de la variable. Pretenden resumir en un solo valor la dispersión que tiene un conjunto de datos. Las medidas de dispersión más utilizadas son: Rango de variación, Varianza, Desviación estándar, Coeficiente de variación.

Rango de variación
Se define como la diferencia entre el mayor valor de la variable y el menor valor de la variable.

La mejor medida de dispersión, y la más generalizada es la varianza, o su raíz cuadrada, la desviación estándar. La varianza se representa con el símbolo σ² (sigma cuadrado) para el universo o población y con el símbolo s2 (s cuadrado), cuando se trata de la muestra. La desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la varianza, se representa por σ (sigma) cuando pertenece al universo o población y por “s”, cuando pertenece a la muestra. σ² y σ son parámetros, constantes para una población particular; s2 y s son estadígrafos, valores que cambian de muestra en muestra dentro de una misma población. La varianza se expresa en unidades de variable al cuadrado y la desviación estándar simplemente en unidades de variable.

Fórmulas
Donde µ es el promedio de la población.

Donde Ȳ es el promedio de la muestra.

Consideremos a modo de ejemplo una muestra de 4 observaciones

Según la fórmula el promedio calculado es 7, veamos ahora el cálculo de las medidas de dispersión:

s2 = 34 / 3 = 11,33 Varianza de la muestra

La desviación estándar de la muestra (s) será la raíz cuadrada de 11,33 = 3,4.

Interpretación de la varianza (válida también para la desviación estándar): un alto valor de la varianza indica que los datos están alejados del promedio. Es difícil hacer una interpretación de la varianza teniendo un solo valor de ella. La situación es más clara si se comparan las varianzas de dos muestras, por ejemplo varianza de la muestra igual 18 y varianza de la muestra b igual 25. En este caso diremos que los datos de la muestra b tienen mayor dispersión que los datos de la muestra a. esto significa que en la muestra a los datos están más cerca del promedio y en cambio en la muestra b los datos están más alejados del promedio.

Coeficiente de variación
Es una medida de la dispersión relativa de los datos. Se define como la desviación estándar de la muestra expresada como porcentaje de la media muestral.

Es de particular utilidad para comparar la dispersión entre variables con distintas unidades de medida. Esto porque el coeficiente de variación, a diferencia de la desviación estándar, es independiente de la unidad de medida de la variable de estudio.

Medidas de tendencia central y de dispersión en datos agrupados

Se identifica como datos agrupados a los datos dispuestos en una distribución de frecuencia. En tal caso las fórmulas para el cálculo de promedio, mediana, modo, varianza y desviación estándar deben incluir una leve modificación. A continuación se entregan los detalles para cada una de las medidas.

Promedio en datos agrupados
La fórmula es la siguiente:

Donde ni representa cada una de las frecuencias correspondientes a los diferentes valores de Yi.

Consideremos como ejemplo una distribución de frecuencia de madres que asisten a un programa de lactancia materna, clasificadas según el número de partos. Por tratarse de una variable en escala discreta, las clases o categorías asumen sólo ciertos valores: 1, 2, 3, 4, 5.

Entonces las 42 madres han tenido, en promedio, 2,78 partos.

Si la variable de interés es de tipo continuo será necesario determinar, para cada intervalo, un valor medio que lo represente. Este valor se llama marca de clase (Yc) y se calcula dividiendo por 2 la suma de los límites reales del intervalo de clase. De ahí en adelante se procede del mismo modo que en el ejercicio anterior, reemplazando, en la formula de promedio, Yi por Yc.

Mediana en datos agrupados
Si la variable es de tipo discreto la mediana será el valor de la variable que corresponda a la frecuencia acumulada que supere inmediatamente a n/2. En los datos de la tabla 1 Me=3, ya que 42/2 es igual a 21 y la frecuencia acumulada que supera inmediatamente a 21 es 33, que corresponde a un valor de variable (Yi) igual a 3.

Si la variable es de tipo continuo es necesario, primero, identificar la frecuencia acumulada que supere en forma inmediata a n/2, y luego aplicar la siguiente fórmula:

Donde:

Moda en datos agrupados
Si la variable es de tipo discreto la moda o modo será al valor de la variable (Yi) que tenga la mayor frecuencia absoluta ( ). En los datos de la tabla 1 el valor de la moda es 3 ya que este valor de variable corresponde a la mayor frecuencia absoluta =16.

Más adelante se presenta un ejemplo integrado para promedio, mediana, varianza y desviación estándar en datos agrupados con intervalos.

Varianza en datos agrupados
Para el cálculo de varianza en datos agrupados se utiliza la fórmula

Con los datos del ejemplo y recordando que el promedio (Y) resultó ser 2,78 partos por madre,

Cuando los datos están agrupados en intervalos de clase, se trabaja con la marca de clase (Yc), de tal modo que la fórmula queda:

Donde Yc es el punto medio del intervalo y se llama marca de clase del intervalo

Yc= (Límite inferior del intervalo + limite superior del intervalo)/2.

Percentiles

Los percentiles son valores de la variable que dividen la distribución en 100 partes iguales. De este modo si el percentil 80 (P80) es igual a 35 años de edad, significa que el 80% de los casos tiene edad igual o inferior a 35 años.

Su procedimiento de cálculo es relativamente simple en datos agrupados sin intervalos.

Retomemos el ejemplo de la variable número de partos:

El percentil j (Pj) corresponde al valor de la variable (Yi ) cuya frecuencia acumulada supera inmediatamente al “j” % de los casos (jxn/100).

El percentil 80, en los datos de la tabla, será el valor de la variable cuyo Ni sea inmediatamente superior a 33,6 ((80x42) /100).

El primer Ni que supera a 33,6 es 39. Por lo tanto al percentil 80 le corresponde el valor 4. Se dice entonces que el percentil 80 es 4 partos (P80=4). Este resultado significa que un 80% de las madres estudiadas han tenido 4 partos o menos.

Si los datos están agrupados en una tabla con intervalos, el procedimiento es levemente más complejo ya que se hace necesaria la aplicación de una fórmula.

Se aplica a los datos del intervalo cuya frecuencia acumulada ( Ni ) sea inmediatamente superior al “j” % de los casos (jxn/100).

En la siguiente tabla se muestra la distribución de 40 familias según su ingreso mensual en miles de pesos. Nótese que para calcular el centro de clase se usaron los límites reales de cada intervalo.

1. El ingreso mensual promedio será:

2. La mediana será:

Esto significa que un 50% de las familias tiene ingreso mensual igual o inferior a $127.270.

3. El percentil 78 será:

Por lo tanto se puede decir que 78% de las familias tienen ingreso igual o inferior a $174.660.

4. Los percentiles 10 y 90 serán:

A base de los valores de los percentiles 10 y 90 se pueden hacer tres afirmaciones:

El 10% de las familias tiene ingreso igual o inferior a $90.000.
El 90% de las familias tiene ingreso igual o inferior a $210.000.
El 80% central, de las familias, tiene ingreso entre $90.000 y $210.000

5. - La varianza será:

http://www.medwave.cl/link.cgi/Medwave/Series/MBE04/4934?ver=sindiseno

Operaciones De Conjuntos

En las matemáticas, no podemos definir a un conjunto, por ser un concepto primitivo, pero hacemos abstracción y lo pensamos como una colección desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les llama elementos o miembros de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos. Se representan con una letra mayúscula y a los elementos o miembros de ese conjunto se les mete entre llaves corchetes o parentesis. ({,}).

Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por ejemplo, teniendo un conjunto de la gente que juega al fútbol y otro de la gente que juega a baloncesto podemos hacer muchas combinaciones como el conjunto de personas que juegan a fútbol o baloncesto, las que juegan a fútbol y baloncesto, las que no juegan a baloncesto, etc.

Por lo tanto vamos a ver las distintas operaciones que hay en los conjuntos:

Esta es la representación gráfica de un conjunto, en este caso tratamos el conjunto de los polígonos, dentro de este hay multitud de elementos (todos los polígonos), pero hay un punto perro hay un conjunto perteneciente al anterior que es el conjunto de polígonos regulares

Unión[editar]

Diagrama de Venn de la unión de dos conjuntos A $\cup$ B

El símbolo del operador de esta operación es: $\cup$ , y es llamado copa.

Es correspondiente a la unificación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos que pueden, partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales. Cuando un elemento es repetido, forma parte de la junta una vez solamente; esto difiere del concepto de multiconjuntos en la concepción tradicional de la suma, en la cual los elementos comunes se consideran tantas veces como se encuentren en la totalidad de los conjuntos.

Sean A y B dos conjuntos, la junta de ambos (A $\cup$ B) es el conjunto C el cual contiene a todos los elementos pertenecientes al conjunto A y al conjunto B.

Un elemento x pertenece a la junta de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto Ao x pertenece al conjunto B, por lo tanto

A\cup B=\{x/x\in A\lor x\in B\}

Ejemplos[editar]

En el Diagrama de Venn que se muestra en la imagen de la derecha se puede observar como es de forma gráfica, a continuación pondré también algunos ejemplos prácticos:

Ejemplo: La unión de los conjuntos A={1,2,3} y B={2,4,6} sería el conjunto C={1,2,3,4,6}, esto es: {1,2,3} $\cup$ {2,4,6}={1,2,3,4,6}
Ejemplo: La unión de personas que juegan al fútbol y de personas que juegan al baloncesto serían las personas que juegan a fútbol o baloncesto.

Intersección[editar]

Diagrama de Venn que muestra la intersecciónde dos conjuntos A $\cap$ B

El símbolo del operador de esta operación es: $\cap$ , y es llamado capa.

Sean A y B dos conjuntos, la coincidencia de ambos (A $\cap$ B) es el conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están en B.

Un elemento x pertenece a la coincidencia de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B, por lo tanto

A\cap B=\{x/x\in A\land x\in B\}

vez.

Disjuntividad[editar]

Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando la coincidencia de ambos es el conjunto vacío. A $\cap$ B= { $\emptyset$ }

Ejemplos[editar]

Ejemplo: La coincidencia del conjunto de números pares y el conjunto de números impares sería el conjunto C={ $\emptyset$ } o sea serían disjuntos.
Ejemplo: La coincidencia del conjunto de personas que juegan a baloncesto y el conjunto de personas que juegan a fútbol es el conjunto vacío, osea serían disjuntos.
Ejemplo: La coincidencia de A={3,7,8} y B={1,2,9} sería C={ $\emptyset$ }, ya que {3,7,8} $\cap$ {1,2,9}={ $\emptyset$ } por lo tanto A y B son disjuntos.

Diferencia[editar]

Diagrama de Venn que muestra la diferenciade dos conjuntos A $\$ B

El símbolo de esta operación es: $\$ .

La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B.

También se le puede llamar a la diferencia de A y B: complementario de B con respecto a A.

Por lo tanto, un elemento pertenece a la diferencia de A y B si, y sólo si

\{x/x\in A\land x\not \in B\}

Ejemplos[editar]

Ejemplo: La diferencia de los conjuntos {1,2,3,4} y {1,3,5,7} es el conjunto {2,4}, sin embargo la diferencia de los conjuntos {1,3,5,7} y {1,2,3,4} es el conjunto {5,7}.
Ejemplo: La diferencia del conjunto de las personas que juegan al fútbol y el conjunto de las personas que juegan a baloncesto es el conjunto de las personas que solo y exclusivamente juegan al fútbol.

Complemento[editar]

Diagrama de Venn que muestra el complemento de un conjunto A

El símbolo de esta operación es:

A ∁

, o también se suele representar con el símbolo

A

Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran todos los elementos posibles, entonces el complementario de A con respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de A. $A$ =U-A

Por lo tanto, un elemento pertenece al complementario de A si, y sólo si

A^{c}=\{x/x\in U\land x\not \in A\}

Ejemplos[editar]

Ejemplo: El complementario del conjunto de números pares es el conjunto de números
Ejemplo: El complementario del conjunto de personas que juegan a fútbol es el conjunto de personas que no lo juegan.
Ejemplo: El complementario del conjunto de todos los números positivos menores de 5, incluyendo el 5 es el conjunto {1,2,3,4}

Diferencia simétrica[editar]

Diagrama de Venn que muestra la diferencia simétrica de dos conjuntos A Δ B

El símbolo de esta operación es: Δ.

La diferencia simétrica de dos conjuntos

A

B

es otro conjunto el cual posee los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en los dos a la vez. $A Δ B$ = C, donde C no tiene

Ejemplo: La diferencia simétrica del conjunto de personas que juegan a fútbol y el conjunto de personas que juegan a baloncesto es el conjunto de personas que juegan sólo a fútbol y sólo a baloncesto, pero no que jueguen a ambos a la vez.

Producto cartesiano[editar]

En un conjunto los elementos están desordenados y el orden es muy importante, por ello necesitamos algún tipo de estructura diferente para representar a los elementos ordenados, de ahí salen las n-tuplas ordenadas.

La n-tupla ordenada

(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})

es la colección ordenada dónde su primer elemento es

(a_{1})

(a_{2})

es su segundo elemento, ... y

(a_{n})

el elemento n-ésimo.

Se puede decir que dos n-tuplas ordenadas son iguales si, y sólo si, cada elemento numerado de cada par es igual, osea,

(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})

(b_{1},b_{2},b_{3},\dots ,b_{n})

esto sucede si, y sólo si

(a_{i})

(b_{i})

para i= 1,2,3,...,n. Las 2-tuplas se llaman pares ordenados (a,b) y (c,d), estos son iguales si, y sólo si a=c y b=d.

Ahora haciendo referencia al producto cartesiano de dos conjuntos:

El símbolo de esta operación es: ×

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto C, C =

A \times B

, donde los pares ordenados (a,b) están formados por un primer elemento perteneciente a A y un segundo elemento perteneciente a B.

A

B=\{(a,b)/a\in A\land b\in B\}

Ejemplos[editar]

Ejemplo: El producto cartesiano de A={2,3} y B={a,b,c} es A×B={(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}

Principio de inclusión-exclusión[editar]

Es la generalización del resultado de las uniones de un número arbitrario de conjuntos, es una técnica muy importante que se usa principalmente en los problemas de enumeración.

Sucede por ejemplo cuando queremos encontrar un cardinal de la unión de dos conjuntos y para encontrar dicho número de la unión de dos conjuntos finitos A y B, hay que tener en cuenta que en A

\cup

B cada elemento de A está solo una vez en A, pero no en B, y viceversa, pero hay algunos elementos que pueden pertenecer a A y a B a la vez, por lo tanto el principio de inclusión-exclusión se basa en restar a la unión de dos conjuntos finitos la intersección de ambos.

Matemáticamente: A $\cup$ B - A $\cap$ B

Identidad[editar]

En matemáticas, una identidad es cuando dos objetos que aparentemente son distintos por la forma en la que se representan, al final son lo mismo. Por lo tanto, una identidad es una igualdad entre dos expresiones, entre los conjuntos existen una serie de leyes de identidades, que les muestro a continuación:

Leyes de identidad[editar]

A $\cup$ $\emptyset$ = A, la unión de un conjunto cualquiera con el conjunto vacío es el mismo conjunto.
A $\cap$ U = A, la intersección de un conjunto cualquiera con el conjunto universal es el mismo conjunto.

Leyes de dominación[editar]

A $\cup$ U = U, la unión de un conjunto cualquiera con el conjunto universal, es el conjunto universal.
A $\cap$ $\emptyset$ = $\emptyset$ , la intersección de un conjunto cualquiera con el conjunto vacío, es el conjunto vacío.

Leyes idempotentes[editar]

A $\cup$ A = A, la unión de un conjunto cualquiera consigo mismo, es el mismo conjunto.
A $\cap$ A = A, la intersección de un conjunto cualquiera consigo mismo, es el mismo conjunto.

Ley de complementación[editar]

A, la negación de la negación de un conjunto cualquiera, es el mismo conjunto.

Leyes conmutativas[editar]

A $\cup$ B = B $\cup$ A
A $\cap$ B = B $\cap$ A

Leyes asociativas[editar]

A $\cup$ (B $\cup$ C) = (A $\cup$ B) $\cup$ C
A $\cap$ (B $\cap$ C) = (A $\cap$ B) $\cap$ C

Leyes distributivas[editar]

A $\cap$ (B $\cup$ C) = (A $\cap$ B) $\cup$ (A $\cap$ C)
A $\cup$ (B $\cap$ C) = (A $\cup$ B) $\cap$ (A $\cup$ C)

Leyes de De Morgan[editar]

Representación gráfica de las leyes de De Morgan

A $\cup$ B = A $\cap$ B
A $\cap$ B = A $\cup$ B

La forma generalizada es:

{\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}\equiv \bigcup _{i\in I}{\overline {A_{i}}}

{\overline {\bigcup _{i\in I}A_{i}}}\equiv \bigcap _{i\in I}{\overline {A_{i}}}

donde I es un conjunto indexado, posiblemente incontable.

Leyes de absorción[editar]

A $\cup$ (A $\cap$ B) = A
A $\cap$ (A $\cup$ B) = A

Leyes de complemento[editar]

A $\cup$ A = U, la unión de un conjunto cualquiera con su complementario, es el conjunto universal.
A $\cap$ A = $\emptyset$ , la intersección de un conjunto cualquiera con su complementario, es el conjunto vacío.

Uniones e intersecciones generalizadas[editar]

Las operaciones de unión y de intersección tienen la propiedad asociativa, por lo tanto si tenemos tres conjuntos A, B y C...

La unión de esos tres conjuntos es otro conjunto D el cual contiene todos aquellos elementos que están al menos en uno de los conjuntos A, B o C. (A $\cup$ B $\cup$ C)

Un elemento x pertenece a la unión de los conjuntos A, B y C si, y sólo si, x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B o x pertenece al conjunto C, por lo tanto:

A\cup B\cup C=\{x/x\in A\lor x\in B\lor x\in C\}

La intersección de los conjuntos A, B y C queda como resultado otro conjunto D el cual tiene los elementos que están estrictamente en A, en B y en C. (A $\cap$ B $\cap$ C)

Un elemento x pertenece a la intersección de los conjuntos A, B y C si, y sólo si, x pertenece al conjunto A, x pertenece al conjunto B y x pertenece al conjunto C, por lo tanto:

A\cap B\cap C=\{x/x\in A\land x\in B\land x\in C\}

Ejemplos[editar]

Ejemplo: La unión del conjunto de personas que juegan al fútbol, el conjunto de personas que juegan al baloncesto y el conjunto de personas que juegan a tenis, es el conjunto de personas que juegan a uno o más de los tres deportes citados; sin embargo, la intersección de esos tres conjuntos sería el conjunto de personas que juegan a los tres deportes.
Ejemplo: Sea A={2,4,6,20}, B={1,7,13,20} y C={0,5,20}, la unión de A, B y C es el conjunto D={0,1,2,4,5,6,7,13,20} y la intersección de A, B y C es el conjunto D={20}

https://es.wikipedia.org/wiki/Operaciones_con_conjuntos